fraktalkunst.de

Die faszinierende Welt der Fraktale

Monat: April 2013

Das etwas andere Universum

Montag, 29. April 2013 / / Keine Kommentare

Unendliche Weiten, wir schreiben das Jahr 2013 und dringen in Bereiche vor, die nie ein Mensch zuvor gesehen hat. So könnte man das Universum der komplexen Zahlen treffend beschreiben, denn es ist groß, verdammt groß.

Am Wochenende habe ich mich auf eine Entdeckungsreise in die Mandelbrotmenge begeben und in Strukturen hineingezoomt, die ich Euch nicht vorenthalten möchte.

Alle schwarzen Pixel in den folgenden Bildern gehören zur Mandelbrotmenge, auch Apfelmännchen genannt. Den Pixeln außerhalb der Mandelbrotmenge können je nach Anzahl der Iterationen Farben zugewiesen werden.

Im vorliegenden Fall habe ich 260 Iterationen verwendet.

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Formeln schreiben – Teil 4

Samstag, 27. April 2013 / / Keine Kommentare

Im abschließenden Teil werden wir eine Formeldatei schreiben, mit deren Hilfe Ihr Euer Fraktal transformieren könnt.

Die Transformationsdatei wird im Karteireiter Abbildung (Mapping) des Werkzeugfensters Ebenen-Eigenschaften (Layer Properties) aufgerufen.

Einige Eckpunkte sollen vorab für unsere Transformation festgelegt werden:

  1. die Transformation soll eine Dateneingabe durch den Nutzer ermöglichen,
  2. zwei Funktionen sollen eine Auswahl bieten und
  3. es sollen vom Nutzer Zusatzfunktionen aktiviert und eingeblendet werden können.

Okay, los gehts.

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Jeden Monat ein Newtonfraktal

Donnerstag, 18. April 2013 / / Keine Kommentare

Ich hatte mal wieder eine Idee. Dazu habe ich mir das eher unscheinbar aussehende Newtonfraktal herausgesucht.

Die Formel lautet übrigens:

p(z) = z^4 - 1 = 0 , z \in \mathbb{C}

Das Newtonfraktal ist eigentlich eine zweidimensionale grafische Darstellung der näherungsweise ermittelten Nullstellen nichtlinearer Gleichungssysteme im Bereich der komplexen Zahlen.

Dabei wird ein Startwert solange iteriert, bis feststeht, ob der Startwert zur Nullstelle konvergiert oder nicht. Je schneller er zu einer Nullstelle konvergiert, umso heller wird der Pixel in der jeweiligen Farbe der Nullstelle eingefärbt. Divergiert er, bleibt der Pixel schwarz.

Das Ermitteln der Nullstellen erfolgt mit Hilfe des Newton-Verfahrens oder dem sogenannten Tangentennäherungsverfahren.

In diesem PDF-Dokument werden die mathematischen Grundlagen wie Vektoren und Matrizen, das Newton-Verfahren sowie die komplexen Zahlen detailliert erklärt, welche zum Errechnen der Nullstellen erforderlich sind.

Ihr könnt Euch monatlich an verschiedene Newtonfraktale erfreuen. Viel Spaß!

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Formeln schreiben – Teil 3

Mittwoch, 17. April 2013 / / Keine Kommentare

Standardmäßig werden bereits von Ultra Fractal eine Vielzahl von Kolorierungsalgorithmen zur Verfügung gestellt.

Im dritten Teil wenden wir uns diesen Algorithmen zu, die Eure berechneten Fraktale interpretieren und farblich darstellen.

Im Gegensatz zu direkten Kolorierungsalgorithmen, die sofort eine Farbe für das Pixel zurückgeben, berechnen normale Algorithmen die Farbe nicht unmittelbar selbst, sondern erzeugen einen Fließkomma-Indexwert, der in eine Farbe des Farbverlaufs umgerechnet wird.

Somit ist es möglich, Farben durch Bearbeiten des Farbverlaufs zu ändern. Andererseits sind die Farben, die in einer Ebene auftauchen können, auf die Farben des Farbverlaufs begrenzt.

Der Kolorierungsalgorithmus wird im Karteireiter Innen (Inside) bzw. Außen (Outside) des Werkzeugfensters Ebenen-Eigenschaften (Layer Properties) aufgerufen.

Zu Beginn sollen einige Eckpunkte vorab für unseren Kolorierungsalgorithmus definiert werden.

  1. er soll eine Dateneingabe durch den Nutzer ermöglichen,
  2. drei Funktionen sollen ausgewählt werden können und
  3. es sollen vom Nutzer Zusatzfunktionen aktiviert und eingeblendet werden können.

Okay, dann lasst uns loslegen.

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