In der fraktalen Geometrie werden häufig Begriffe wie fraktale Dimension, Selbstähnlichkeit, seltsame Attraktoren und Periodenverdopplung verwendet, um nur einige zu nennen.

Diese Begriffe möchte ich mal etwas genauer erläutern, ohne den Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben.

Die Definition des Begriffs fraktale Menge oder Fraktal erfolgt meistens im Zusammenhang mit der fraktalen Geometrie.

 

fraktale Mengen oder Fraktale:

Das Wort leitet sich aus dem lateinischen Adjektiv "fractus" (gebrochen, in Stücke zerbrochen, irregulär) und dem lateinischen Verb "frangere" (zerbrechen: unregelmäßige Bruchstücke erzeugen) ab.

Sie beschreiben, im Gegensatz zur euklidischen Geometrie, die in der Natur vorkommenden komplexen geometrischen Strukturen, wie beispielsweise Wolken, Berge und Bäume, Adernetz oder Küstenlinien, die eine gebrochene oder fraktale Dimension (eine rationale Zahl zwischen null und eins, eins und zwei sowie zwei und drei) und eine hohe Selbstähnlichkeit aufweisen.

 

Chaostheorie oder Chaosforschung:

Die Chaosforschung (auch als Chaostheorie oder Theorie komplexer Systeme bezeichnet) ist ein Teilgebiet der Mathematik und Physik. Sie befasst sich mit Systemen, deren Dynamik so empfindlich gegen Änderungen der Anfangsbedingungen sind, dass diese Änderungen nach einer gewissen Zeit schließlich im Chaos enden. Dieses Verhalten ist zwar kurzfristig verhersagbar, langfristig jedoch nicht. Da diese Dynamik einerseits den physikalischen Gesetzen unterliegt, andererseits aber irregulär erscheint, bezeichnet man sie als deterministisches Chaos.

Chaotische Systeme sind nichtlineare dynamische Systeme. Beispiele hierfür sind der Schmetterlingseffekt beim Wetter, Turbulenzen, Wirtschaftskreisläufen, bestimmte Musterbildungsprozesse, wie beispielsweise Erosion, sowie neuronale Netze und damit letztlich auch menschliches Verhalten.

Die Erfolge der Chaosforschung bestehen im Wesentlichen in der Entdeckung bestimmter universeller Strukturen und Prinzipien im scheinbar regellosen Verhalten chaotischer Systeme wie beispielsweise der Periodenverdopplung beim Übergang ins Chaos und den so genannten seltsamen Attraktoren.

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seltsame Attraktoren:

In manchen Fällen streben Systeme mit verschiedenen Anfangsbedingungen zu dem selben Verhalten. Die zugehörigen Bahnen im Phasenraum konvergieren dann zu einer bestimmten Bahn, die als Attraktor bezeichnet wird. Chaotische Systeme können nun eine besondere Form von Attraktoren haben, die als seltsame Attraktoren bezeichnet werden. Obwohl sie sich in einem begrenzten Gebiet des Phasenraumes aufhalten, sind sie unendlich lang und nicht periodisch. Bezüglich kleiner Störungen zeigen sie chaotisches Verhalten.

Das bekannteste Beispiel für einen seltsamen Attraktor ist der Lorenz-Attraktor, den Lorenz bei der Modellierung des Wettergeschehens entdeckte.

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Periodenverdopplung:

Bei Übergang von periodischem Verhalten zum Chaos kann ein typisches Phänomen auftreten, das als Periodenverdopplung oder Feigenbaum-Szenario bezeichnet wird. Dabei nimmt zum chaotischen Bereich hin die Oszillationsperiode stufenweise um den Faktor zwei zu.

Die zugehörigen Parameterintervalle werden mit zunehmender Periode immer kürzer. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle unterschiedlicher Perioden strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante δ = 4,669… .

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Ordnung und Unordnung:

Das Aussehen eines Fraktals bewegt sich zwischen Chaos, also dem Höchstmaß an Unordnung, und einer Form von Ordnung, in diesem Fall der Selbstähnlichkeit.

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Schmetterlingseffekt:

Der Schmetterlingseffekt besagt, dass eine kleine Veränderung des Anfangszustands ausreicht, ein nichtlineares dynamisches System im Chaos enden zu lassen.

Einfacher ausgedrückt: Der Flügelschlag eines Schmetterlings kann Auslöser eines Hurrikans sein.

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Selbstähnlichkeit:

Jeder noch so kleine Ausschnitt eines Fraktals, ähnelt bei seiner Vergrößerung dem Ursprungsfraktal. So zeigt ein vergrößerter Ausschnitt einer Küstenlinie immer noch die Merkmale einer Küstenlinie ganz im Gegensatz zu den klassischen geometrischen Objekten, z.B. ähnelt eine Kreislinie bei starker Vergrößerung immer mehr einer Geraden.

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gebrochene oder fraktale Dimension:

Ein Fraktal weist im Gegensatz zu den klassischen geometrischen Objekten eine nicht-ganzzahlige, also eine gebrochene Dimension auf.

So besitzt die Gerade die Dimension Eins, das Quadrat in der Fläche die Dimension Zwei und der Würfel im Raum die Dimension Drei.

Die Cantor-Menge beispielsweise, auch als Cantor-Staub oder Cantor'sches Diskontinuum bezeichnet, besitzt eine Dimension zwischen Null und Eins. Sie hat eine Dimension von D = 0,6309… .

Küstenlinien und raumfüllende Kurven besitzen hingegen eine Dimension zwischen Eins und Zwei, z.B. die Koch-Kurve mit D = 1,2618595… .

Berge, Bäume und Schwämme haben eine Dimension zwischen Zwei und Drei, z.B. der Menger-Schwamm (Er ist ein auf einen Würfel übertragener Sierpinski-Teppich).

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Ergänzende mathematische Ausführungen über Grundlagen, gebrochene Dimensionen und Selbstähnlichkeiten von Fraktalen erhaltet Ihr auf den Seiten www.fraktalekunst.de von Dipl.-Math. Andreas Mattern.

Weiterführende Informationen habe ich unter Linkfavoriten zusammengestellt.

Wer sich noch umfassender über die Thematik "Fraktale und Chaos" informieren will, dem sei das Buch "Die fraktale Geometrie der Natur" von Bernoît B. Mandelbrot empfohlen.